> 5月より転居いたします。
> その際ですが、今の家に付けているしめ縄を外して持って行き、
> 新居に付けて使い続けて問題ないのでしょうか。
>
> それとも新居には、新居用に新品を付けた方が良いのでしょうか。

決まり事が有る訳ではございません。
お飾りいただく方のお気持ち次第になるかと存じます。

今年の2月にご購入いただいております為
そのままお使いいただいてもよろしいかと存じます。

そのままお使いいただく事が気になるようでございましたら、
新しいしめ縄にお取り替えいただき、お飾りしていただけましたらと存じます。

【しめ縄】
https://www.ise-miyachu.net/SHOP/266663/list.html

> 昨年の年末は「しめ縄」が既に完売になっていた関係で
> 今年は早目に購入する予定ですが、早目に購入した後に
> もしも不幸があった場合は「しめ縄」は
> 飾って良いものか悪いものなのか教えて下さい。

伊勢地方では、不幸事があった際には、玄関しめ縄を取り外す風習がございます。
年が開けてから新しいものにするご家庭もあれば、初盆を迎えてから取り付けられるご家庭もあり様々です。